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涨知识系列:椭圆介绍

同学们大家好~因为开学了,所以很久没更新了,那今天我们就接假期时候讲的接着讲:今天我们来学椭圆。不要被乌俄战争影响,专注学习~首先,什么是椭圆?即如图:PF1+PF2=定值而且,这个定值肯定还得比F1F2大,如果等于的话,P就是一条线段了,如果小,那根本就不能构成几何图形。为了方便研究,我们设这个定值为2a,也就是,椭圆上的点满足:PF1+PF2=2a,.而这一点就是我们后续研究椭圆方程的一个非常

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同学们大家好~因为开学了,所以很久没更新了,那今天我们就接假期时候讲的接着讲:今天我们来学椭圆。不要被乌俄战争影响,专注学习~首先,什么是椭圆?即如图:PF1+PF2=定值而且,这个定值肯定还得比F1F2大,如果等于的话,P就是一条线段了,如果小,那根本就不能构成几何图形。为了方便研究,我们设这个定值为2a,也就是,椭圆上的点满足:PF1+PF2=2a,.而这一点就是我们后续研究椭圆方程的一个非常重要的依据。我们还定义:这两个定点F1、F2,叫做椭圆的焦点,F1F2叫做焦距,记作2c那现在我们就根据定义,来推到椭圆的方程我们只研究中心是原点的椭圆。

同学们大家好~

因为开学了,所以很久没更新了,那今天我们就接假期时候讲的接着讲:今天我们来学椭圆。

不要被乌俄战争影响,专注学习~


首先,什么是椭圆?

我就直接给定义了:

涨知识系列:椭圆介绍

我们定义:到两个定点的距离和是一个定值的点的轨迹,叫做椭圆。

即如图:PF1+PF2=定值

而且,这个定值肯定还得比F1F2大,如果等于的话,P就是一条线段了,如果小,那根本就不能构成几何图形。

为了方便研究,我们设这个定值为2a,也就是,椭圆上的点满足:PF1+PF2=2a,(2a>F1F2).

而这一点就是我们后续研究椭圆方程的一个非常重要的依据。

我们还定义:这两个定点F1、F2,叫做椭圆的焦点,F1F2叫做焦距,记作2c


那现在我们就根据定义,来推到椭圆的方程

我们只研究中心是原点的椭圆。那么我们能想到,它可能是躺着的(如下图),也可能是竖着的。那我们先来研究躺着的这个。

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设椭圆上一点P(x,y),我们需要从PF1+PF2=2a开始‬推‬,将‬它们‬用‬P坐标‬表示出来‬.同时‬,我们‬设‬F1(-c,0),F2(c,0).

大家先自己推推


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最后我们得到了躺着的椭圆的标准方程,也就是我最后画黑框的那个.

如果用专业术语来说,它叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.有点类似于我们之前讲抛物线的表述方法.其实它们是有共性的,我们后面再说.


那竖着的呢?也就是焦点在y轴上

推到方法一样,我们自己得出结论:


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其实就是x与y调换位置.


综合以上两个方程,我们会发现,哪个轴的分母大,焦点就在哪个轴上.


再多说一句,如果我不想用带分数线的形式表示椭圆,能不能用乘积的形式呢?

比如:mx方+ny方=1(m>0,n>0,m不等于n),能不能表示椭圆?当然可以,因为它就相当于

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那如果m>n>0,焦点在y轴上

如果n>m>0,焦点就在x轴上

总之就是要化成标准方程的形式


例1:

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大家先自己做

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例2:

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今天的内容就到这里,还是很简单的,如果对你有用的话,那就点赞转发,下节课见~


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