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斐波那契数列,隐藏在自然界的数学幽灵

当然,受气候或病虫害的影响,很多植物生长不一定严格按照斐波那契数列。令人惊奇的是,随着数列项数的增加,斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……两个这样的点,约等于0.618:1 )黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关。黄金分割也被广泛应用于建筑界,被认为是建筑和艺术中最理想的比例,蕴含着艺术性、比例性、和谐性。历史上许多著名的建筑,实际上它们或多或少

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当然,受气候或病虫害的影响,很多植物生长不一定严格按照斐波那契数列。令人惊奇的是,随着数列项数的增加,斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……两个这样的点,约等于0.618:1 )黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关。黄金分割也被广泛应用于建筑界,被认为是建筑和艺术中最理想的比例,蕴含着艺术性、比例性、和谐性。历史上许多著名的建筑,实际上它们或多或少都应用了黄金分割。

有这样一个数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368……这个数列前两个数均为1,从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

数列最早被提出是,公元前200年左右,印度数学家Gopala,他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。

也就是这个问题:

有n个台阶,你每次只能跨一阶或两阶,上楼有几种方法?

而最早研究这个数列的当然就是斐波那契(Leonardo Fibonacci)了,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨)。

1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目:

第一个月初有一对刚诞生的兔子,

第二个月之后(第三个月初)它们可以生育,

每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子,

兔子永不死去。

斐波那契数列,隐藏在自然界的数学幽灵

这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》,后来就被广泛的应用于各种场合了。这个数列是这么定义的:

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01斐波那契数列及其特点:

斐波那契数列通项公式:斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……

菲波纳契数列既谓神奇数字,上述数字自有神奇之处,其特点包括:

1、从第三项起,任何一个数字均是其前两个数字的和数,例如1+1=2;1+2=3;2+3=5;3+5=8;5+8=13;8+13=21;13+21=34等。

2、任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除,所得数字分别接近0.382及2.618。

接近0.382比率,例如:8÷21=0.381;13÷34=0.382;21÷55=0.382等。

接近2.618比率,例如:21÷8=2.625;34÷13=2.615;55÷21=2.619等。

3、除首四个数字(1、1、2、3)外,两个相邻数字彼此相除,所得数字分别接近0.618及1.618比率。

接近0.618比率,例如:5÷8=0.625;8÷13=0.615;13÷21=0.619等。

接近1.618比率,例如:8÷5=1.6;13÷8=1.625;21÷13=1.615等。

02斐波那契数列在自然界的神奇体现

在自然界中,一些植物的花瓣、叶片、果实的数目以及排列的方式,都是非常贴合斐波那契数列的。

在一定条件下,我们通过细致观察可以发现,向日葵的花盘中有2组螺旋线,一组以顺时针方向盘绕,另一组则按照逆时针方向盘绕,并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中,这些顺逆螺旋的数目并不固定,但这些数目往往不会超出34和55、55和89、89和144这三组数字,每组数字都是卖波那契数列中相邻的两个数。

再比如树木的生长。新生的枝条需要一段“休息”时间供自身生长,而后才能萌发新枝。一株树苗在一年后长出一条新枝,第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树本各个年份的枝丫数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

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我们观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、漏斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目也具有斐波那契数:3、5、8、13、21……通常来说,百合花花瓣数为3,梅花花瓣数为5,飞燕草花瓣数为8,万寿菊花瓣数为13,雏菊有34、55和89三个数目的花瓣数。

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这里我们以向日葵为例,详细说一下内在的魅力吧。如果我们仔细观察,就会发现向日葵盘内的种子形成两组螺旋线,一组是顺时针的,另一组是逆时针的。而这两组螺旋线的条数刚好是两个相邻的斐波那契数,小向日葵是34和55,大向日葵是144和233。

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松果种子、菜花表面也有类似的规律。

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为什么自然界中有如此之多的斐波那契数列巧合呢?这是植物在大自然中长期适应和进化的结果,是为了让自己最充分地利用阳光和空气,繁育更多的后代。当然,受气候或病虫害的影响,很多植物生长不一定严格按照斐波那契数列。

令人惊奇的是,随着数列项数的增加,斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… (黄金分割是指把一线段分为两部分,使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。两个这样的点,约等于0.618:1 )

黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关。人的进化过程中,骨骼方面以头骨和腿骨变化最大,躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小,人体结构中有许多比例关系接近0.618,近年来,在研究黄金分割与人体关系时,发现了人体结构中有14个“黄金点”(物体短段与长段之比值为 0.618),12个“黄金矩形”(宽与长比值为 0.618的长方形)和2个“黄金指数”(两物体间的比例关系为 0.618)。

例如肚脐是头顶-足底之分割点;咽喉是头顶-肚脐之分割点;膝关节是肚脐-足底之分割点;肘关节是肩关节-中指尖之分割点等等。神奇的0.618黄金分割律,与我们的生活息息相关,也是中老年人养生长寿的密码。最佳睡眠时间:从子时到午时共12小时,乘以0.618,约为7.5小时。

黄金分割也被广泛应用于建筑界,被认为是建筑和艺术中最理想的比例,蕴含着艺术性、比例性、和谐性。历史上许多著名的建筑,实际上它们或多或少都应用了黄金分割。

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古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑,建成于公元前477年至前432年,

它坐落在希腊首都雅典卫城的最高点上,是为了庆祝雅典战胜波斯而建,神庙的地面和顶部、立面的高和宽,都十分接近黄金分割比。

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埃及金字塔的建造也充分利用了黄金分割的原理,虽历经几千年的自然侵蚀和人为破坏,已残损不堪。但从远处观望金字塔,雄伟庞大的建筑体在整体上还是呈现为一个角锥体,并且是一个最具有美感的四角锥体结构,虽然这些金字塔大小各异,金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618。

当我们按斐波那契数列,取边长分别为1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形,每一个新的正方形都有一个边,其长度与最近两个正方形的边之和一样长,

这组矩形的边长是两个相邻的斐波那契数,称为斐波那契矩形,也叫黄金矩形

(记住这个黄金矩形,等下还会再次出现)。然后,以各正方形的一个顶点为圆心

画出四分之一的曲线,再连接所有曲线,最后形成的螺旋线就是下图所示的

“斐波那契螺旋线。

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人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状,这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波,从而增强听觉。

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还有就是台风,对于结构完整的台风,最多的形容就是螺旋形结构,而这个结构也是符合斐波那契螺旋线的。

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八百年来,人们在各个领域都发现了斐波那契数列。尤其是十九世纪开始,人们发现了斐波那契数列在计算机、物理、化学等领域的应用,这个古老的数列焕发了新的青春。1963年,斐波那契协会成立,并出版了《斐波那契季刊》用以刊登与斐波那契数列相关的研究成果。

03斐波那契数列的数学问题

众多的数学爱好者对于斐波那契数列的研究热情很高,也编拟出了很多与之有关的数学趣题,下面我们一起来看看吧。

1.著名的斐波那契数列指的是数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.该数列有很多性质,“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比0.6180339887…”是其中的一个性质.请经过探究,猜测该数列中的第2020项与2021项的比值与黄金分割比的大小关系为()

A.大于 B.等于 C.小于 D.无法确定

【解析】根据斐波那契数列中奇数项与后一项的比值大于黄金分割比,偶数项与后一项的比值小于黄金分割比即可求解.

∵第2020项是偶数项,∴第2020项与2021项的比值小于黄金分割比.故选:C.

2.阳明山万寿寺前有11级台阶,小敏一步只能上1级台阶或2级台阶,那么:1级台阶只有1种走法:记为(1);2级台阶有两种走法:记为(1、1)、(2);3级台阶有3种走法:记为(1、1、1)、(1、2)、(2、1);4级台阶有5种走法:记为(1、1、1、1);(1、1、2)(1、2、1);(2、1、1);(2、2),小敏发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、…逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、…这就是著名的斐波那契数列.那么小敏上这11级台阶共有()种不同走法.

A.34 B.89 C.144 D.233

【解析】根据斐波那契数列的特点:数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和,据此可得答案.

根据题意知第7级的走法有8+13=21种,

第8级的走法有13+21=34种,

第9级的走法有34+21=55种,

第10级的走法有55+34=89种,

第11级的走法有89+55=144种,

故选:C.

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3.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧,弧P1P2,弧P2P3,弧P3P4,…得到斐波那契螺旋线,然后依次连接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(﹣1,0),P3(0,﹣1),则该折线上P10的点的坐标为______.

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【解析】我们把1,1,2,3,5,8,13,21,34,…组数称为斐波那契数列,观察图象,推出P10的位置,即可解决问题.

由题意,P5在P2的正上方,推出P9在P6的正上方,P10在P7的正左方,

且P10的横坐标为:﹣34﹣6=﹣40,P10的纵坐标与P7的纵坐标相等是﹣9,

所以P10的坐标为(﹣40,﹣9),

故答案为:(﹣40,﹣9).

4. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;

②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次。已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为______.

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